Au lieu de repérer un point par son abscisse et son ordonnée, on peut dire « à quelle distance du centre » et « dans quelle direction », comme un guide qui dit « à 3 km, direction nord-est ». Ce sont les coordonnées polaires (ρ ; θ). À l'Exetat : distances, équation polaire d'une droite et nature d'une conique.
L'essentiel
- Le point M a pour coordonnées polaires (ρ ; θ) : ρ est la distance OM (O est appelé le pôle) et θ (ou ω) est l'angle entre l'axe polaire (demi-axe des x positifs) et la demi-droite [OM).
- Passage polaire vers cartésien : x = ρ cos θ et y = ρ sin θ. Dans l'autre sens : ρ = √(x² + y²), cos θ = x/ρ et sin θ = y/ρ.
- Distance entre A(ρ₁ ; θ₁) et B(ρ₂ ; θ₂) : c'est la formule d'Al-Kashi dans le triangle OAB, AB² = ρ₁² + ρ₂² − 2ρ₁ρ₂ cos(θ₂ − θ₁).
- Équation polaire d'une droite : si la perpendiculaire menée du pôle à la droite la coupe en H(p ; α), l'équation est ρ cos(ω − α) = p. On peut aussi l'écrire 1/ρ = (cos α/p) cos ω + (sin α/p) sin ω.
- Pour revenir au cartésien, on développe cos(ω − α) = cos ω cos α + sin ω sin α : l'équation devient x cos α + y sin α = p.
- Conique d'équation polaire ρ = p/(1 + e cos θ) (ou avec sin θ) : e est l'excentricité. e < 1 : ellipse ; e = 1 : parabole ; e > 1 : hyperbole. Avec cos θ, la directrice est perpendiculaire à l'axe polaire ; avec sin θ, elle lui est parallèle.
- Pour lire e, il faut d'abord que le nombre seul du dénominateur soit 1 : ρ = 6/(3 + 2 cos θ) = 2/(1 + (2/3) cos θ), donc e = 2/3. Le signe devant cos θ ne compte pas pour e : ρ = 5/(2 − 5 cos θ) = (5/2)/(1 − (5/2) cos θ), donc e = 5/2, une hyperbole.
Les formules
- Polaire vers cartésien
- x = ρ cos θ ; y = ρ sin θ ; ρ² = x² + y²
- Distance de deux points
- AB² = ρ₁² + ρ₂² − 2ρ₁ρ₂ cos(θ₂ − θ₁)
- Droite de pied H(p ; α)
- ρ cos(ω − α) = p
- équivaut à x cos α + y sin α = p
- Conique
- ρ = p/(1 ± e cos θ)
- e < 1 ellipse, e = 1 parabole, e > 1 hyperbole
La méthode
- 1Repère le type de question : distance, équation de droite, passage en cartésien ou nature d'une conique.
- 2Pour une distance, calcule l'écart des angles θ₂ − θ₁, son cosinus, puis applique la formule.
- 3Pour une droite, lis p et α sur le point H et écris ρ cos(ω − α) = p ; si les propositions sont sous la forme 1/ρ = …, divise par p.
- 4Pour passer en cartésien, développe le cosinus et remplace ρ cos ω par x et ρ sin ω par y.
- 5Pour une conique, divise numérateur et dénominateur par le nombre seul du dénominateur, puis lis e.
Un exemple résolu
Dans un repère polaire, on donne A(2 ; π/6) et B(4 ; π/2). Calcule la distance AB.
- 1.Écart des angles : π/2 − π/6 = 3π/6 − π/6 = 2π/6 = π/3.
- 2.cos(π/3) = 1/2.
- 3.AB² = 2² + 4² − 2 × 2 × 4 × 1/2 = 4 + 16 − 8 = 12.
- 4.AB = √12 = 2√3.
- 5.Contrôle en cartésien : A = (2 cos π/6 ; 2 sin π/6) = (√3 ; 1) et B = (0 ; 4). AB² = (√3)² + (4 − 1)² = 3 + 9 = 12.
Réponse : AB = 2√3, soit environ 3,46.
Les pièges à éviter
- Lire l'excentricité sans normaliser : dans ρ = 6/(4 + 2 cos θ), e = 2/4 = 1/2 (ellipse), et non 2.
- Mettre ω + α au lieu de ω − α dans l'équation de la droite : c'est toujours cos(ω − α), avec l'angle du pied H.
- Pour la forme 1/ρ = …, oublier de diviser par p : avec H(4 ; π/3), on obtient 1/ρ = (1/8) cos ω + (√3/8) sin ω.
- Confondre sin et cos pour la direction de la directrice : avec sin θ, la directrice est parallèle à l'axe polaire.
À retenir
x = ρ cos θ, y = ρ sin θ ; AB² = ρ₁² + ρ₂² − 2ρ₁ρ₂ cos(θ₂ − θ₁) ; droite de pied H(p ; α) : ρ cos(ω − α) = p.