Une probabilité mesure la chance qu'un événement se produise, entre 0 (impossible) et 1 (certain). À l'Exetat, les items sont des tirages simples (un jeton dans une urne, un dé, une pièce) où il suffit de bien compter, et des tableaux de notes où l'on calcule une moyenne ou un pourcentage.
L'essentiel
- Quand tous les résultats ont la même chance (jeton indiscernable, dé non truqué, pièce équilibrée), P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles.
- Compter les multiples de k entre 1 et n : c'est la partie entière de n/k. Entre 1 et 30, il y a 7 multiples de 4 (car 30/4 = 7,5) et 5 multiples de 6.
- Réunion « A ou B » : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). On retire les cas comptés deux fois. Les multiples de 3 et de 5 à la fois sont les multiples de 15 ; ceux de 4 et de 6 à la fois sont les multiples de 12 (le PPCM, pas le produit).
- Événement contraire : P(non A) = 1 − P(A). Pour « au moins une fois », il est souvent plus simple de calculer 1 − P(jamais). Deux lancers d'une pièce : P(au moins un pile) = 1 − 1/4 = 3/4.
- Statistique : l'effectif total est la somme des effectifs ; la fréquence d'une valeur est son effectif divisé par l'effectif total ; un pourcentage est une fréquence multipliée par 100.
- Moyenne pondérée : x̄ = (Σ nᵢxᵢ)/N, où nᵢ est l'effectif de la valeur xᵢ et N l'effectif total. Le mode est la valeur la plus fréquente ; la médiane partage la série rangée en deux moitiés.
Les formules
- Probabilité (équiprobabilité)
- P(A) = cas favorables / cas possibles
- Réunion
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Contraire
- P(Ā) = 1 − P(A)
- Moyenne pondérée
- x̄ = (n₁x₁ + n₂x₂ + … + nₖxₖ)/N
- N = n₁ + n₂ + … + nₖ
- Pourcentage
- p = (effectif concerné / effectif total) × 100
La méthode
- 1Compte tous les cas possibles (par exemple 60 jetons, 36 couples pour deux dés, 4 résultats pour deux pièces).
- 2Compte les cas favorables, en divisant n par k pour les multiples.
- 3S'il y a un « ou », ajoute les deux comptes puis retire ce qui est commun (multiples du PPCM).
- 4S'il y a « au moins un », pense à l'événement contraire.
- 5Écris la fraction et simplifie-la ; compare avec les propositions, qui ne sont pas toujours simplifiées.
- 6Pour un tableau statistique, calcule d'abord l'effectif total, puis la grandeur demandée.
Un exemple résolu
Une urne contient 60 jetons indiscernables numérotés de 1 à 60. On tire un jeton au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 4 ou un multiple de 6 ?
- 1.Cas possibles : 60.
- 2.Multiples de 4 : 60/4 = 15.
- 3.Multiples de 6 : 60/6 = 10.
- 4.Multiples des deux à la fois, c'est-à-dire de PPCM(4 ; 6) = 12 : 60/12 = 5 (12, 24, 36, 48, 60).
- 5.Cas favorables : 15 + 10 − 5 = 20.
- 6.P = 20/60 = 1/3.
Réponse : La probabilité vaut 1/3.
Les pièges à éviter
- Oublier de retirer les cas communs dans un « ou » : pour les multiples de 4 ou de 6 entre 1 et 60, on compterait 15 + 10 = 25 cas au lieu de 20.
- Prendre le produit au lieu du PPCM pour les cas communs : les multiples de 4 et de 6 sont ceux de 12, pas ceux de 24.
- Arrondir n/k vers le haut : entre 1 et 50, il y a 8 multiples de 6 (50/6 ≈ 8,3), donc P = 8/50 = 4/25.
- Dans un tableau, calculer un pourcentage sur le nombre de valeurs différentes au lieu de l'effectif total.
- Pour « au moins 12 », oublier d'inclure la valeur 12 elle-même.
À retenir
P = favorables / possibles ; « ou » : on ajoute puis on retire le commun ; « au moins un » : 1 − P(aucun).