Le domaine de définition d'une fonction, c'est l'ensemble des x pour lesquels on peut vraiment calculer f(x). On le trouve en listant les opérations « interdites » de la formule : à l'Exetat, il suffit de connaître quatre règles et de bien lire les crochets.
L'essentiel
- Règle 1, fraction : un dénominateur ne doit jamais valoir 0. On cherche les valeurs qui l'annulent et on les retire.
- Règle 2, racine paire (√, ⁴√…) : ce qui est sous la racine doit être positif ou nul (≥ 0). Si la racine paire est au dénominateur, il faut strictement positif (> 0).
- Règle 3, racine impaire (∛, ⁵√…) : elle existe pour tout réel, même négatif (∛(−8) = −2). Elle n'impose rien, sauf si elle est au dénominateur : alors ce qui est dessous doit être différent de 0.
- Règle 4, logarithme : ln u et log u n'existent que si u > 0 (strictement). Si ln u est au dénominateur, il faut en plus ln u ≠ 0, c'est-à-dire u ≠ 1. De même ln x ≠ 1 signifie x ≠ e.
- Fonctions trigonométriques : tg x n'existe pas quand cos x = 0, soit x = π/2 + kπ ; cotg x n'existe pas quand sin x = 0, soit x = kπ. Sinus et cosinus sont définis partout.
- Signe d'un trinôme ax² + bx + c qui a deux racines x₁ < x₂ : il a le signe de a à l'extérieur des racines et le signe contraire entre elles. Exemple : x² − 7x + 10 > 0 pour x < 2 ou x > 5.
- Quand il y a plusieurs conditions, le domaine est l'intersection (ce qui est commun à toutes). Un crochet fermé [ inclut la borne, un crochet ouvert ] l'exclut.
- Ensemble des valeurs prises par f sur un ensemble fini E : on liste d'abord les éléments de E, puis on calcule f(x) pour chacun, en écartant ceux où f n'existe pas. Exemple : E = {x ∈ ℤ / (x² − 4)(x − 5)(3x + 1) = 0} = {−2 ; 2 ; 5} (−1/3 n'est pas entier) et f(x) = 1/(x + 2) donne {1/4 ; 1/7}, car f(−2) n'existe pas.
Les formules
- Fraction A/B
- B ≠ 0
- Racine paire
- √A existe si A ≥ 0 ; 1/√A existe si A > 0
- Racine impaire
- ∛A existe pour tout A ; 1/∛A existe si A ≠ 0
- Logarithme
- ln A existe si A > 0 ; 1/ln A existe si A > 0 et A ≠ 1
- Tangente et cotangente
- tg x : x ≠ π/2 + kπ ; cotg x : x ≠ kπ
- k entier
La méthode
- 1Repère dans la formule chaque fraction, racine (paire ou impaire), logarithme et tangente.
- 2Écris une condition pour chacun : B ≠ 0, A ≥ 0, A > 0, A ≠ 1…
- 3Résous chaque condition séparément ; pour un trinôme, calcule ses racines et utilise la règle du signe.
- 4Fais l'intersection de toutes les conditions, sur une droite graduée si besoin.
- 5Choisis soigneusement les crochets : fermé si la valeur est permise, ouvert si elle est interdite ou si c'est ±∞.
- 6Contrôle avec une valeur test prise dans le domaine, et une autre prise dehors.
Un exemple résolu
Détermine le domaine de définition de f(x) = √(x² − x − 6)/(√x − 4).
- 1.Trois conditions : x² − x − 6 ≥ 0 (racine paire au numérateur), x ≥ 0 (racine √x), et √x − 4 ≠ 0 (dénominateur).
- 2.Racines de x² − x − 6 : Δ = 1 + 24 = 25, donc x = (1 − 5)/2 = −2 ou x = (1 + 5)/2 = 3.
- 3.Le coefficient de x² est positif, donc x² − x − 6 ≥ 0 pour x ≤ −2 ou x ≥ 3.
- 4.√x − 4 = 0 donne √x = 4, soit x = 16 : on retire 16.
- 5.Intersection avec x ≥ 0 : la partie x ≤ −2 disparaît, il reste x ≥ 3, sans 16.
- 6.Contrôle : pour x = 4, √(16 − 4 − 6) = √6 et √4 − 4 = −2 ≠ 0, f(4) existe. Pour x = 1, 1 − 1 − 6 = −6 < 0, f(1) n'existe pas.
Réponse : Df = [3 ; 16[ ∪ ]16 ; +∞[.
Les pièges à éviter
- Imposer une condition à une racine impaire : ∛((x² − 4)/(x² + 1)) est définie sur tout ℝ, car x² + 1 ne s'annule jamais.
- Garder le crochet fermé quand la racine paire est au dénominateur : pour (2x + 1)/√(25 − x²), il faut 25 − x² > 0, donc ]−5 ; 5[ et non [−5 ; 5].
- Oublier la condition « ln ≠ 0 » : pour (eˣ + 1)/ln(2 − x), il faut 2 − x > 0 ET 2 − x ≠ 1, donc ]−∞ ; 1[ ∪ ]1 ; 2[.
- Oublier la condition cachée x ≥ 0 quand il y a un √x : pour √(x² − 4)/(√x − 3), la partie x ≤ −2 est exclue.
- Confondre ln|x| et ln x : ln|x| existe pour tout x ≠ 0, y compris les négatifs.
À retenir
Dénominateur ≠ 0, racine paire ≥ 0 (> 0 au dénominateur), logarithme > 0 (et ≠ 1 au dénominateur), racine impaire sans condition : puis on fait l'intersection.