L'intégrale mesure une aire : celle de la surface coincée entre une courbe et l'axe, ou entre deux courbes. En faisant tourner cette surface autour d'un axe, on obtient un solide (comme un vase tourné par un potier) dont l'intégrale donne aussi le volume.
L'essentiel
- Si f(x) ≥ 0 sur [a ; b], l'aire entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b vaut ∫ₐᵇ f(x) dx. Si f est négative, on prend l'opposé : une aire est toujours positive.
- Aire entre deux courbes : ∫ₐᵇ [courbe du dessus − courbe du dessous] dx. Si les courbes se croisent entre a et b, on coupe l'intégrale au point de croisement.
- Quand l'énoncé ne donne pas les bornes (« domaine limité par la parabole et la droite »), les bornes sont les abscisses des points d'intersection : on résout f(x) = g(x).
- Raccourci pour une parabole et une droite (ou deux paraboles y = ...) : si la différence vaut ax² + bx + c avec des racines x₁ < x₂, l'aire comprise vaut |a|(x₂ − x₁)³/6.
- Volume engendré par la rotation autour de l'axe Ox de la surface sous y = f(x), entre a et b : V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx. Autour de l'axe Oy : V = π ∫ x² dy, en exprimant x² en fonction de y.
- Ellipse x²/a² + y²/b² = 1 tournant autour de Ox : V = (4/3)πab². Autour de Oy : V = (4/3)πa²b. Pour a = b = R, on retrouve la boule (4/3)πR³.
- Aire d'un triangle de sommets A, B, C donnés par leurs coordonnées : (1/2)|(x_B − x_A)(y_C − y_A) − (x_C − x_A)(y_B − y_A)|.
- Courbe donnée par x en fonction de y (parabole « couchée » comme y² + 4x − 16 = 0, soit x = (16 − y²)/4) : on intègre par rapport à y, A = ∫ (courbe de droite − courbe de gauche) dy. Ici, avec l'axe Oy, A = ∫ de −4 à 4 de (16 − y²)/4 dy = 64/3.
Les formules
- Aire entre deux courbes
- A = ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx
- f au-dessus de g sur [a ; b]
- Aire parabole et droite
- A = |a|(x₂ − x₁)³/6
- a coefficient de x² dans f − g, x₁ et x₂ ses racines
- Volume autour de Ox
- V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx
- Volume autour de Oy
- V = π ∫ x² dy
- x² exprimé en fonction de y
- Ellipse en rotation
- autour de Ox : (4/3)πab² ; autour de Oy : (4/3)πa²b
- x²/a² + y²/b² = 1
- Aire d'un triangle
- (1/2)|(x_B − x_A)(y_C − y_A) − (x_C − x_A)(y_B − y_A)|
La méthode
- 1Fais un petit croquis pour voir quelle courbe est au-dessus et où elles se coupent.
- 2Cherche les bornes : données par l'énoncé, ou abscisses des points d'intersection (résous f(x) = g(x)).
- 3Écris l'intégrale de (dessus − dessous) et calcule une primitive.
- 4Applique F(b) − F(a) ; le résultat doit être positif.
- 5Pour un volume, élève f(x) au carré, multiplie par π et intègre. Pour une conique, mets d'abord l'équation sous forme réduite.
Un exemple résolu
Calcule l'aire du domaine limité par la parabole y = x² − 2x et la droite y = x.
- 1.Points d'intersection : x² − 2x = x, donc x² − 3x = 0, soit x(x − 3) = 0 : x = 0 ou x = 3.
- 2.Position : pour x = 1, la droite donne 1 et la parabole donne −1. La droite est au-dessus entre 0 et 3.
- 3.A = ∫₀³ [x − (x² − 2x)] dx = ∫₀³ (3x − x²) dx.
- 4.Primitive : 3x²/2 − x³/3.
- 5.A = (3 × 9/2 − 27/3) − 0 = 27/2 − 9 = 9/2.
- 6.Contrôle avec le raccourci : la différence vaut −x² + 3x, donc |a| = 1, x₂ − x₁ = 3, et 1 × 27/6 = 9/2.
Réponse : L'aire vaut 9/2 unités d'aire.
Les pièges à éviter
- Soustraire dans le mauvais sens (dessous − dessus) et obtenir une aire négative : une aire est toujours positive.
- Oublier le carré ou le π dans la formule du volume : V = π∫f², pas ∫f ni π∫f.
- Pour une ellipse, se tromper de demi-axe : dans 4x² + 9y² = 36, soit x²/9 + y²/4 = 1, on a a = 3 (sur Ox) et b = 2 ; autour de Ox, V = (4/3)π × 3 × 4 = 16π.
- Ne pas couper l'intégrale quand la courbe passe sous l'axe : les parties positives et négatives se compenseraient.
À retenir
Aire = ∫ (dessus − dessous) entre les points d'intersection ; volume autour de Ox = π∫f(x)² dx.