Un développement de Mac-Laurin remplace une fonction compliquée par un polynôme qui lui ressemble beaucoup près de x = 0. C'est ce qui permet de calculer à la main une valeur approchée de e^0,02 ou de ln 1,1. À l'Exetat, on demande un coefficient, un terme, ou de reconnaître une fonction à partir de son développement.
L'essentiel
- Le développement de Mac-Laurin de f s'écrit f(x) = f(0) + f′(0)x + f″(0)x²/2! + f‴(0)x³/3! + … Le coefficient de xⁿ est donc f⁽ⁿ⁾(0)/n!, où n! = 1 × 2 × … × n (par exemple 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120).
- En pratique, on ne dérive presque jamais : on part des développements usuels de eˣ, sin x, cos x, ln(1 + x), 1/(1 − x) et Arctg x, qu'il faut connaître par cœur.
- Substitution : pour e^(3x), on remplace x par 3x dans le développement de eˣ. Le coefficient de xⁿ devient 3ⁿ/n!. Pour ln(1 − 3x), on remplace x par −3x.
- Produit : pour eˣ sin x ou x²e²ˣ, on multiplie les deux développements et on ne garde que les termes jusqu'à l'ordre demandé.
- Multiplier par x décale tout d'un rang : x e³ˣ = x + 3x² + (9/2)x³ + …
- Reconnaître une fonction : sin x n'a que des puissances impaires avec des factorielles, cos x que des puissances paires avec des factorielles, ln(1 + x) a des signes alternés sans factorielle (xᵏ/k), Arctg x a des puissances impaires sans factorielle (x^(2k+1)/(2k + 1)).
- Valeur approchée : pour e^0,02, on remplace x par 0,02 dans 1 + x + x²/2 + x³/6 ; plus x est petit, plus l'approximation est bonne.
Les formules
- Formule générale
- f(x) = f(0) + f′(0)x + f″(0)x²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ/n! + …
- Exponentielle
- eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + …
- Sinus et cosinus
- sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − … ; cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
- Logarithme
- ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + …
- terme général (−1)^(k+1) xᵏ/k
- Fraction et arc tangente
- 1/(1 − x) = 1 + x + x² + x³ + … ; Arctg x = x − x³/3 + x⁵/5 − …
La méthode
- 1Repère la ou les fonctions usuelles cachées dans f (exponentielle, sinus, logarithme…).
- 2Écris leur développement en remplaçant x par ce qui se trouve à l'intérieur (2x, −3x, x/2…), en calculant chaque puissance avec son signe.
- 3S'il y a un produit, multiplie terme à terme et ne garde que les puissances utiles.
- 4Regroupe les termes de même puissance et lis le coefficient demandé.
- 5Si on demande le « k-ième terme non nul », compte uniquement les termes dont le coefficient n'est pas zéro.
Un exemple résolu
Donne le développement de Mac-Laurin de f(x) = e²ˣ sin x jusqu'à l'ordre 3.
- 1.e²ˣ : on remplace x par 2x dans eˣ. 1 + 2x + (2x)²/2 + (2x)³/6 = 1 + 2x + 2x² + (4/3)x³.
- 2.sin x = x − x³/6 jusqu'à l'ordre 3.
- 3.Produit, terme en x : 1 × x = x.
- 4.Terme en x² : 2x × x = 2x².
- 5.Terme en x³ : 2x² × x + 1 × (−x³/6) = 2x³ − x³/6 = (12/6 − 1/6)x³ = (11/6)x³.
- 6.Les autres produits (par exemple (4/3)x³ × x) donnent des puissances supérieures à 3 : on les laisse de côté.
Réponse : e²ˣ sin x = x + 2x² + (11/6)x³ + …
Les pièges à éviter
- Oublier d'élever le coefficient à la puissance : dans e^(−3x), le terme en x³ est (−3x)³/6 = −27x³/6 = −9x³/2, pas −3x³/6.
- Oublier les factorielles : le coefficient de x⁴ dans cos 2x est (2⁴)/4! = 16/24 = 2/3.
- Se tromper de signe dans ln(1 − 3x) : tous les termes sont négatifs, le troisième vaut (−3x)³/3 = −9x³.
- Dans un produit, oublier un des croisements : pour le terme en x³, il faut toutes les combinaisons dont les puissances font 3.
- Confondre « ordre » (puissance la plus haute gardée) et « nombre de termes non nuls ».
À retenir
Coefficient de xⁿ = f⁽ⁿ⁾(0)/n! ; on part des développements usuels, on remplace x par ax, et on multiplie en ne gardant que les puissances utiles.