Un courant électrique crée un champ magnétique autour de lui, comme un aimant : c'est le principe de l'électroaimant. Et un fil parcouru par un courant dans un champ magnétique subit une force : c'est le principe du moteur électrique. L'Exetat demande surtout le champ d'un solénoïde, d'une spire ou d'un fil, et la force de Laplace.
L'essentiel
- On décrit le champ magnétique par deux grandeurs liées : l'excitation H (en A/m), qui dépend seulement des courants et de la géométrie, et l'induction B (en teslas, T), qui dépend aussi du milieu. Dans l'air : B = μ₀·H, avec μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Avec un noyau de fer de perméabilité relative μr : B = μ₀·μr·H, soit μr fois plus.
- Solénoïde (bobine longue) de N spires sur une longueur ℓ : H = N·I/ℓ, avec ℓ en MÈTRES. N/ℓ = n est le nombre de spires par mètre (5 spires par cm = 500 par m). Le produit N·I s'appelle les ampères-tours : à dimensions égales, même nombre d'ampères-tours donne même champ (N₁·I₁ = N₂·I₂).
- Au centre d'une spire circulaire de rayon r : H = I/(2r). Pour une bobine plate de N spires : H = N·I/(2r). Attention, c'est le RAYON, en mètres.
- Fil rectiligne très long, à la distance d : B = μ₀·I/(2π·d) = 2 × 10⁻⁷ × I/d. Le champ diminue quand on s'éloigne du fil ; ses lignes sont des cercles autour du fil.
- Flux magnétique à travers une spire de surface S perpendiculaire au champ : Φ = B·S, en webers (Wb). Pour une spire de diamètre D, S = π·(D/2)².
- Force de Laplace : un conducteur de longueur L parcouru par un courant I dans un champ B subit F = B·I·L·sin α, où α est l'angle entre le conducteur et les lignes de champ. Maximale quand le fil est perpendiculaire au champ (sin 90° = 1), nulle quand il est parallèle (sin 0° = 0).
- Le sens de la force se trouve avec la règle des trois doigts de la main droite : pouce dans le sens du courant, index dans le sens du champ, le majeur donne le sens de la force. La force est perpendiculaire à la fois au fil et au champ.
Les formules
- Induction et excitation
- B = μ₀·μr·H
- μ₀ = 4π × 10⁻⁷ ; dans l'air μr = 1
- Solénoïde
- H = N·I/ℓ = n·I ; B = μ₀·μr·N·I/ℓ
- ℓ en m, n en spires par m
- Centre d'une spire ou bobine plate
- H = N·I/(2r) ; B = μ₀·N·I/(2r)
- r : rayon en m
- Fil rectiligne
- B = μ₀·I/(2π·d) = 2 × 10⁻⁷ × I/d
- d en m
- Flux à travers une spire
- Φ = B·S
- S = π·r², Φ en Wb
- Force de Laplace
- F = B·I·L·sin α
- α : angle fil-champ
- Ampères-tours
- N₁·I₁ = N₂·I₂ (même champ, mêmes dimensions)
- moins de spires : plus de courant
La méthode
- 1Convertis toutes les longueurs en mètres (longueur de bobine, rayon, distance au fil) et les spires par cm en spires par m.
- 2Choisis la bonne formule selon la forme : solénoïde (N·I/ℓ), spire ou bobine plate (N·I/(2r)), fil (2 × 10⁻⁷ × I/d).
- 3Calcule H (en A/m), puis B = μ₀·μr·H (en T) si on demande l'induction. Ne donne pas H quand on demande B.
- 4Pour un flux, calcule la surface d'une spire avec le rayon (moitié du diamètre), puis Φ = B·S.
- 5Pour une force de Laplace, repère l'angle entre le fil et le champ et utilise le sinus de cet angle.
Un exemple résolu
Un solénoïde de 30 cm de long comporte 300 spires de 4 cm de diamètre, parcourues par 0,5 A. Il contient un noyau de fer de perméabilité relative 200 (μ₀ = 4π × 10⁻⁷). Calcule H, B et le flux à travers une spire.
- 1.Excitation : H = N·I/ℓ = 300 × 0,5/0,30 = 150/0,30 = 500 A/m.
- 2.Induction : B = μ₀·μr·H = 4π × 10⁻⁷ × 200 × 500 ≈ 0,126 T.
- 3.Surface d'une spire : rayon 2 cm = 0,02 m, donc S = π × 0,02² ≈ 1,257 × 10⁻³ m².
- 4.Flux : Φ = B·S ≈ 0,126 × 1,257 × 10⁻³ ≈ 1,58 × 10⁻⁴ Wb.
Réponse : H = 500 A/m ; B ≈ 0,126 T ; Φ ≈ 1,58 × 10⁻⁴ Wb.
Les pièges à éviter
- Garder la longueur en centimètres dans H = N·I/ℓ : le champ devient cent fois trop petit.
- Donner H (en A/m) quand on demande B (en T), ou oublier μr quand il y a un noyau de fer.
- Utiliser le diamètre au lieu du rayon pour une spire, ou oublier le 2 dans I/(2r).
- Confondre les formules : I/(2πd) est celle du fil, I/(2r) celle du centre d'une spire.
- Prendre cos α au lieu de sin α dans la force de Laplace : un fil parallèle au champ ne subit aucune force.
À retenir
Solénoïde : H = N·I/ℓ et B = μ₀·μr·H ; force de Laplace : F = B·I·L·sin α ; longueurs toujours en mètres.