Tourner en rond demande une force dirigée vers le centre : c'est elle qui retient un satellite sur son orbite ou une voiture dans un virage. L'Exetat demande la vitesse d'un satellite, l'inclinaison d'un virage relevé et le moment d'inertie d'un solide qui tourne.
L'essentiel
- Mouvement circulaire uniforme : l'objet parcourt un cercle de rayon r à vitesse constante. Un tour (2πr) prend une période T, donc v = 2πr/T. La vitesse angulaire ω = 2π/T = 2πf s'exprime en rad/s, et v = ω·r.
- Même à vitesse constante, la direction change sans cesse : il y a une accélération centripète a = v²/r, dirigée vers le centre. La force qui la produit vaut F = m·v²/r (tension d'un fil, frottement des pneus, attraction de la Terre…).
- Un satellite tourne autour du CENTRE de la Terre : le rayon de son orbite est r = R + h (rayon terrestre + altitude). Un satellite géostationnaire a une période de 24 h et paraît immobile au-dessus de l'équateur.
- Gravitation universelle : deux masses s'attirent avec F = G·m₁·m₂/d², avec G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². Si la distance double, la force est divisée par 4. Pour un satellite, cette attraction joue le rôle de force centripète, d'où v = √(G·M/r).
- Virage relevé : la route est inclinée d'un angle α pour que la partie horizontale de la réaction de la chaussée (dirigée vers le centre du virage) fournisse la force centripète sans frottement latéral. Condition : tan α = v²/(r·g).
- Moment d'inertie J (en kg·m²) : il mesure la difficulté à mettre un solide en rotation, comme la masse pour la translation. Il dépend de la masse ET de sa répartition autour de l'axe : plus la masse est loin de l'axe, plus J est grand.
- Formules à connaître autour de l'axe de symétrie : anneau ou cylindre creux J = M·R² ; disque ou cylindre plein J = ½·M·R² ; sphère pleine J = (2/5)·M·R². L'énergie cinétique de rotation vaut ½·J·ω².
Les formules
- Vitesse sur un cercle
- v = 2πr/T = ω·r
- ω = 2π/T = 2πf en rad/s
- Accélération et force centripètes
- a = v²/r = ω²·r ; F = m·v²/r
- dirigées vers le centre
- Rayon d'orbite
- r = R + h
- R : rayon de la Terre ≈ 6 400 km
- Gravitation universelle
- F = G·m₁·m₂/d²
- G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²
- Vitesse orbitale
- v = √(G·M/r)
- M : masse de l'astre central
- Virage relevé
- tan α = v²/(r·g)
- sans frottement latéral
- Moments d'inertie
- anneau : J = M·R² ; disque plein : J = ½·M·R² ; sphère pleine : J = (2/5)·M·R²
- R en mètres, J en kg·m²
- Énergie cinétique de rotation
- Ec = ½·J·ω²
- ω en rad/s
La méthode
- 1Convertis : rayons et altitudes en mètres (1 km = 1 000 m, 1 cm = 0,01 m), périodes en secondes (24 h = 86 400 s, 12 h = 43 200 s), tours par seconde en rad/s (ω = 2π × f).
- 2Satellite : additionne le rayon terrestre et l'altitude, puis applique v = 2π(R + h)/T.
- 3Virage relevé : calcule v²/r (l'accélération centripète), puis divise par g pour obtenir tan α.
- 4Moment d'inertie : identifie la forme (anneau, disque, sphère), choisis le bon coefficient (1, ½ ou 2/5), puis calcule avec R en mètres. La vitesse de rotation ne change pas J.
- 5Contrôle l'ordre de grandeur : un satellite proche de la Terre va à environ 8 km/s, un satellite géostationnaire à environ 3 km/s ; un virage routier a tan α bien inférieur à 1.
Un exemple résolu
Un satellite géostationnaire tourne à 35 800 km d'altitude, avec une période de 24 h. Le rayon de la Terre vaut 6 400 km. Quelle est sa vitesse ?
- 1.Rayon de l'orbite : r = R + h = 6 400 + 35 800 = 42 200 km = 4,22 × 10⁷ m.
- 2.Période en secondes : T = 24 × 3 600 = 86 400 s.
- 3.Longueur d'un tour : 2πr = 2 × 3,1416 × 4,22 × 10⁷ ≈ 2,65 × 10⁸ m.
- 4.Vitesse : v = 2πr/T ≈ 2,65 × 10⁸/86 400 ≈ 3 069 m/s.
Réponse : v ≈ 3 070 m/s, soit environ 3,1 km/s.
Les pièges à éviter
- Prendre l'altitude seule comme rayon : le satellite tourne autour du centre de la Terre, ajoute toujours R.
- Laisser la période en heures ou en minutes : le résultat n'est plus en m/s (avec r en mètres et T en heures, il est 3 600 fois trop grand ; avec T en minutes, 60 fois trop grand).
- Pour un virage, s'arrêter à v²/r : c'est une accélération (en m/s²), il faut encore diviser par g pour obtenir tan α.
- Se tromper de formule de moment d'inertie (M·R² pour un disque plein au lieu de ½·M·R²) ou laisser le rayon en centimètres, ce qui rend J dix mille fois trop grand.
- Croire que la vitesse de rotation change le moment d'inertie : J dépend seulement de la masse, de la forme et de l'axe.
À retenir
Sur un cercle, v = 2πr/T et la force vers le centre vaut m·v²/r ; pour un satellite, r = R + h.