Le courant du secteur change de sens 100 fois par seconde : c'est un courant alternatif sinusoïdal (220 V, 50 Hz). À l'Exetat, il faut passer des valeurs maximales aux valeurs efficaces, calculer les réactances d'une bobine et d'un condensateur, l'impédance d'un circuit RLC série, et la fréquence propre d'un circuit LC.
L'essentiel
- Une tension sinusoïdale s'écrit u = U(max)·sin(ωt), avec ω = 2π·f la pulsation (rad/s) et f la fréquence (Hz). Le secteur en RDC, comme dans une grande partie du monde, est à 50 Hz.
- La valeur efficace est celle d'un courant continu qui chaufferait autant une résistance : U(eff) = U(max)/√2 et I(eff) = I(max)/√2 (√2 ≈ 1,414). Les « 220 V » du secteur sont une valeur efficace ; la valeur maximale est 220 × √2 ≈ 311 V. Voltmètres et ampèremètres indiquent les valeurs efficaces.
- Puissance moyenne dans une résistance : P = R·I(eff)² = R·I(max)²/2 = U(eff)²/R. Calculer avec la valeur maximale donne le double.
- Réactance (l'« opposition » au courant alternatif, en Ω) : bobine X(L) = L·ω = 2π·f·L, elle augmente avec la fréquence ; condensateur X(C) = 1/(C·ω) = 1/(2π·f·C), elle diminue quand la fréquence augmente.
- Circuit RLC série : les tensions de R, L et C ne sont pas en phase (elles n'atteignent pas leur maximum au même instant), donc on n'additionne pas simplement leurs valeurs efficaces. L'impédance vaut Z = √(R² + (X(L) − X(C))²), puis I(eff) = U(eff)/Z (loi d'Ohm en alternatif). Sans bobine : Z = √(R² + X(C)²) ; sans condensateur : Z = √(R² + X(L)²).
- Facteur de puissance : cos φ = R/Z. Puissance active (vraiment consommée, en W) : P = U·I·cos φ = R·I². Le produit U·I est la puissance apparente, en voltampères (VA).
- Résonance : quand X(L) = X(C), l'impédance est minimale (Z = R) et le courant maximal. Cela se produit à la fréquence propre f₀ = 1/(2π·√(LC)). Un circuit oscillant LC (bobine + condensateur) oscille à cette même fréquence (formule de Thomson).
Les formules
- Valeurs efficaces
- U(eff) = U(max)/√2 ; I(eff) = I(max)/√2
- secteur : 220 V efficaces, 311 V max
- Puissance dans une résistance
- P = R·I(eff)² = R·I(max)²/2
- puissance moyenne
- Réactance d'une bobine
- X(L) = L·ω = 2π·f·L
- L en henrys
- Réactance d'un condensateur
- X(C) = 1/(C·ω) = 1/(2π·f·C)
- C en farads
- Impédance RLC série
- Z = √(R² + (X(L) − X(C))²)
- I = U/Z
- Puissance active
- P = U·I·cos φ = R·I², avec cos φ = R/Z
- U·I : puissance apparente en VA
- Fréquence propre (Thomson)
- f₀ = 1/(2π·√(LC)), donc C = 1/(4π²·f²·L)
- souvent π² ≈ 10
La méthode
- 1Repère si les valeurs données sont maximales ou efficaces. Passe en efficace en divisant par √2 (une tension « du secteur » est déjà efficace).
- 2Convertis : mH en H, µF en F (10⁻⁶), nF en F (10⁻⁹), pF en F (10⁻¹²), kHz en Hz.
- 3Calcule les réactances si besoin (X(L) = 2πfL, X(C) = 1/(2πfC)).
- 4Calcule Z avec la racine : Z = √(R² + (X(L) − X(C))²), puis I = U/Z et P = R·I².
- 5Pour un circuit LC, élève f = 1/(2π√(LC)) au carré avant d'isoler L ou C.
Un exemple résolu
Un circuit série comprend une résistance de 30 Ω, une bobine de réactance 80 Ω et un condensateur de réactance 40 Ω, alimentés sous 100 V efficaces. Calcule l'impédance, le courant efficace et la puissance active.
- 1.Différence des réactances : X(L) − X(C) = 80 − 40 = 40 Ω.
- 2.Impédance : Z = √(30² + 40²) = √(900 + 1 600) = √2 500 = 50 Ω.
- 3.Courant efficace : I = U/Z = 100/50 = 2 A.
- 4.Puissance active : P = R·I² = 30 × 2² = 120 W.
- 5.Contrôle : cos φ = R/Z = 30/50 = 0,6 et U·I·cos φ = 100 × 2 × 0,6 = 120 W.
Réponse : Z = 50 Ω ; I = 2 A ; P = 120 W.
Les pièges à éviter
- Additionner R, X(L) et X(C) : on doit utiliser la racine de Pythagore, et soustraire X(C) de X(L).
- Calculer une puissance moyenne avec la valeur maximale du courant : le résultat est deux fois trop grand.
- Multiplier la tension du secteur par √2 : les 220 V sont déjà une valeur efficace.
- Donner U·I (puissance apparente, en VA) comme puissance active : seule la résistance consomme, P = R·I².
- Oublier le 2π (confondre f et ω) ou oublier de mettre f au carré dans la formule de Thomson.
À retenir
Efficace = maximal ÷ √2 ; en RLC série, Z = √(R² + (X(L) − X(C))²) et I = U/Z ; résonance à f₀ = 1/(2π√(LC)).