La cinématique décrit le mouvement (position, vitesse, accélération) sans chercher ses causes. À l'Exetat, ce sont surtout des freinages de voitures, des démarrages, des objets lâchés ou lancés vers le haut : quatre formules et une conversion d'unités suffisent.
L'essentiel
- La vitesse dit de combien la position change chaque seconde (en m/s). L'accélération dit de combien la vitesse change chaque seconde (en m/s²). Un freinage est une accélération négative, appelée décélération.
- Toujours travailler en mètres, secondes et m/s. Pour passer des km/h aux m/s, on divise par 3,6 : 72 km/h = 20 m/s, 90 km/h = 25 m/s, 54 km/h = 15 m/s, 36 km/h = 10 m/s. Une durée de 2 h 30 min vaut 2,5 h, pas 2,30 h.
- Mouvement rectiligne uniforme (MRU) : la vitesse est constante, x = x₀ + v·t. Dans x = 5 − 3t, la position de départ est x₀ = 5 m et la vitesse v = −3 m/s (le signe moins veut dire qu'on recule sur l'axe).
- Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) : l'accélération est constante. On dispose de v = v₀ + a·t, x = v₀·t + ½·a·t², et de la relation sans le temps v² − v₀² = 2·a·d. Quand la vitesse varie régulièrement, la vitesse moyenne est (v₀ + v)/2, donc d = (v₀ + v)/2 × t.
- Si on donne la loi x(t), on dérive : v(t) = dx/dt, puis a(t) = dv/dt. Le mobile change de sens quand v = 0. Pour des intervalles égaux de durée τ, les distances successives augmentent de Δx = a·τ².
- Chute libre : on lâche un objet et seul son poids agit (air négligé). C'est un MRUA d'accélération g (souvent 10 m/s²) : h = ½·g·t², v = g·t et v = √(2·g·h). La masse de l'objet n'intervient pas.
- Lancer vertical vers le haut à v₀ : la vitesse diminue de g chaque seconde. Au sommet v = 0 : durée de montée v₀/g, hauteur maximale v₀²/(2g). Sans frottement, la descente dure autant que la montée : retour au point de départ après 2v₀/g. Lancé vers le BAS à v₀, la vitesse augmente : h = v₀·t + ½·g·t².
- Distance parcourue pendant la dernière seconde d'une chute de durée t : ½gt² − ½g(t − 1)² = g·(t − ½). Avec g = 10, c'est 10t − 5.
Les formules
- Conversion
- v (m/s) = v (km/h) ÷ 3,6
- 72 km/h = 20 m/s
- Mouvement uniforme
- x = x₀ + v·t
- v constante
- Vitesse en MRUV
- v = v₀ + a·t
- a = (v − v₀)/t
- Position en MRUV
- x = x₀ + v₀·t + ½·a·t²
- départ du repos : d = ½·a·t²
- Relation sans le temps
- v² − v₀² = 2·a·d
- arrêt : d = v₀²/(2|a|)
- Vitesse moyenne en MRUV
- d = (v₀ + v)/2 × t
- valable seulement si a est constante
- Dérivées
- v = dx/dt ; a = dv/dt
- changement de sens quand v = 0
- Chute libre depuis le repos
- h = ½·g·t² ; v = g·t ; v = √(2·g·h)
- g ≈ 10 m/s²
- Lancer vertical vers le haut
- t(montée) = v₀/g ; h(max) = v₀²/(2g) ; h = (v₀² − v²)/(2g)
- aller-retour : 2v₀/g
La méthode
- 1Convertis tout en mètres, secondes et m/s avant le moindre calcul.
- 2Fais la liste des données (v₀, v, a, t, d) et de l'inconnue. « Part du repos » ou « lâché » signifie v₀ = 0 ; « s'arrête » signifie v = 0.
- 3Choisis la formule qui contient les données et l'inconnue, sans grandeur inconnue en plus : pas de temps donné, prends v² − v₀² = 2ad ; pas d'accélération donnée, prends d = (v₀ + v)/2 × t.
- 4Pour une loi x(t), dérive une fois pour la vitesse, deux fois pour l'accélération, puis remplace t.
- 5Contrôle l'ordre de grandeur : un freinage de voiture fait quelques dizaines de mètres, une accélération de voiture quelques m/s².
Un exemple résolu
Un objet lâché sans vitesse initiale parcourt 35 m pendant la dernière seconde de sa chute (g = 10 m/s², air négligé). Quelle est la hauteur totale de chute ?
- 1.Appelons t la durée totale de la chute. La hauteur tombée au bout de t secondes est h(t) = ½ × 10 × t² = 5t².
- 2.Distance de la dernière seconde : h(t) − h(t − 1) = 5t² − 5(t − 1)² = 5t² − 5t² + 10t − 5 = 10t − 5.
- 3.On écrit 10t − 5 = 35, donc 10t = 40 et t = 4 s.
- 4.Hauteur totale : h = 5 × 4² = 5 × 16 = 80 m.
- 5.Vérification : après 3 s l'objet a parcouru 5 × 9 = 45 m ; 80 − 45 = 35 m pendant la dernière seconde.
Réponse : La chute dure 4 s et la hauteur totale est 80 m.
Les pièges à éviter
- Oublier de convertir les km/h en m/s : on obtient des distances absurdes (810 m pour un freinage de camion).
- Oublier le 2 dans v² − v₀² = 2ad ou le ½ dans ½at² : ces erreurs donnent exactement les mauvaises propositions de l'examen.
- Multiplier la vitesse initiale par la durée pendant un freinage : la voiture ralentit, il faut prendre la vitesse moyenne (v₀ + v)/2.
- Oublier la racine carrée dans v = √(2gh) (900 m/s au lieu de 30 m/s), ou calculer (v₀ − v)² au lieu de v₀² − v².
- Prendre la durée totale d'un aller-retour comme durée de montée : la pierre met la moitié du temps pour monter.
À retenir
En m/s d'abord ; puis v = v₀ + at, d = v₀t + ½at², v² − v₀² = 2ad ; en chute libre, a = g et la masse ne compte pas.