Un mouvement périodique se répète identique à lui-même : balançoire, pendule d'horloge, masse au bout d'un ressort. À l'Exetat, tout tourne autour de trois grandeurs liées (période, fréquence, pulsation), des formules du pendule simple et du ressort, et du stroboscope.
L'essentiel
- La période T est la durée d'une oscillation complète (aller et retour), en secondes. La fréquence f est le nombre d'oscillations par seconde, en hertz (Hz) : f = 1/T. La pulsation ω = 2π·f = 2π/T, en rad/s. Ce sont trois grandeurs différentes : ne les confonds pas.
- Si on compte n oscillations en une durée Δt : f = n/Δt et T = Δt/n. Exemple : 15 vibrations en 6 s donnent T = 6/15 = 0,4 s et f = 2,5 Hz.
- Mouvement harmonique simple : x = A·sin(ωt + φ) ou x = A·cos(ωt + φ). A est l'amplitude (l'écart maximal), ω la pulsation, φ la phase à l'origine. La période vaut T = 2π/ω et ne dépend pas de A. Vitesse maximale : A·ω ; accélération maximale : A·ω².
- Pendule simple (petite masse au bout d'un fil de longueur L, petites oscillations) : T = 2π·√(L/g). La masse n'intervient pas. Un pendule quatre fois plus long bat deux fois plus lentement.
- Pendule élastique (masse m au bout d'un ressort de raideur k) : ω = √(k/m) et T = 2π·√(m/k). Si le ressort est vertical et s'allonge de Δl à l'équilibre, k·Δl = m·g, donc k/m = g/Δl et T = 2π·√(Δl/g).
- Stroboscope : un éclairage par éclairs brefs et réguliers. Un disque à n fentes qui tourne à N tours par seconde donne f = n × N éclairs par seconde. Un objet périodique paraît immobile quand la fréquence des éclairs est égale à sa fréquence, ou à sa fréquence divisée par un entier (1 éclair tous les 2 tours, 3 tours…). Si les éclairs sont un peu moins fréquents que le mouvement, l'objet paraît avancer lentement ; un peu plus fréquents, il paraît reculer.
- Pour un disque à n rayons identiques qui tourne à N tr/s, l'aspect se répète tous les 1/n de tour : il paraît immobile, avec n rayons, pour f = n·N/k (k entier). La plus grande de ces fréquences est n·N.
Les formules
- Période, fréquence, pulsation
- f = 1/T ; ω = 2π·f = 2π/T
- T en s, f en Hz, ω en rad/s
- Comptage
- f = n/Δt ; T = Δt/n
- n oscillations en Δt secondes
- Mouvement harmonique simple
- x = A·sin(ωt + φ) ; v(max) = A·ω ; a(max) = A·ω²
- a = −ω²·x
- Pendule simple
- T = 2π·√(L/g), donc L = g·T²/(4π²)
- L en m ; souvent π² ≈ 10
- Pendule élastique
- ω = √(k/m) ; T = 2π·√(m/k) ; k = 4π²·m/T²
- m en kg, k en N/m
- Ressort vertical à l'équilibre
- k·Δl = m·g ; T = 2π·√(Δl/g)
- Δl en m
- Stroboscope à disque
- f(éclairs) = n × N
- n fentes, N en tours par seconde
La méthode
- 1Lis bien ce qu'on demande : période (s), fréquence (Hz) ou pulsation (rad/s). Les trois valeurs figurent souvent parmi les propositions.
- 2Convertis : longueurs en m (cm ÷ 100), masses en kg (g ÷ 1 000), durées en s (1 min 15 s = 75 s), tours par minute en tours par seconde (÷ 60).
- 3Écris la formule complète (avec 2π et la racine), élève au carré si l'inconnue est sous la racine, puis isole l'inconnue.
- 4Si l'énoncé dit π² = 10, profite-en : 4π² = 40.
- 5Pour une équation x(t), lis ω devant t, puis T = 2π/ω. Pour trouver un instant, résous l'équation sur l'angle (sin θ = 1 pour θ = π/2, sin θ = 0 pour θ = 0, π…) et garde la plus petite valeur positive de t.
Un exemple résolu
Un objet suspendu à un ressort l'allonge de 6,25 cm à l'équilibre. On l'écarte puis on le lâche. Quelle est la fréquence de ses oscillations ? (g = 10 m/s², π² = 10)
- 1.À l'équilibre : k·Δl = m·g, donc k/m = g/Δl, avec Δl = 6,25 cm = 0,0625 m.
- 2.f = ω/(2π) = (1/2π)·√(g/Δl), donc f² = g/(4π²·Δl).
- 3.f² = 10/(40 × 0,0625) = 10/2,5 = 4.
- 4.f = √4 = 2 Hz. (Période T = 1/f = 0,5 s ; pulsation ω = 2π × 2 ≈ 12,6 rad/s.)
Réponse : La fréquence vaut 2 Hz.
Les pièges à éviter
- Donner la période quand on demande la fréquence (ou l'inverse) : vérifie l'unité demandée, s ou Hz.
- Oublier la racine carrée ou le carré : T² n'est pas T, et k = m·ω² (pas m·ω).
- Laisser une longueur en cm ou une masse en g : les résultats deviennent cent ou mille fois faux.
- Calculer T = 1/ω au lieu de 2π/ω à partir d'une équation : x = 5 sin(10πt) a une période de 2π/(10π) = 0,2 s, pas 0,1 s.
- Stroboscope : multiplier par 60 sans raison, ou oublier de convertir des tours par minute en tours par seconde.
À retenir
f = 1/T et ω = 2π/T ; pendule simple T = 2π√(L/g), ressort T = 2π√(m/k) ; stroboscope f = fentes × tours par seconde.