Une pile ou une batterie pousse le courant, mais elle résiste aussi un peu elle-même : sa tension baisse quand elle débite. Un moteur, lui, s'oppose au courant. L'Exetat demande le courant d'un circuit (loi de Pouillet), la tension aux bornes d'une pile, les associations de piles, et les rendements de générateurs et d'accumulateurs.
L'essentiel
- Un générateur est caractérisé par sa force électromotrice E (f.é.m., en volts : la tension qu'il donne quand il ne débite pas) et sa résistance interne r. Quand il débite un courant I, la tension à ses bornes vaut U = E − r·I : elle est plus petite que E.
- Loi de Pouillet (circuit en série) : I = E/(R + r), où R est la résistance extérieure. Toutes les résistances du circuit, y compris celle de la pile, vont au dénominateur. En court-circuit (R = 0), le courant est maximal : I(cc) = E/r.
- Un récepteur actif (moteur, électrolyseur, accumulateur en charge) a une force contre-électromotrice E′ (f.c.é.m.) qui s'oppose au courant, et une résistance interne r′ : U′ = E′ + r′·I. Loi de Pouillet généralisée : I = (somme des f.é.m. − somme des f.c.é.m.)/(somme de TOUTES les résistances).
- Associations de n piles identiques (E, r). En série : f.é.m. n·E et résistance interne n·r. En parallèle : f.é.m. E (elle ne s'additionne pas) et résistance interne r/n.
- Puissances d'un générateur : puissance totale E·I, puissance utile fournie au circuit U·I, puissance perdue en chaleur dans la pile r·I². Rendement électrique : η = U/E = R/(R + r), toujours inférieur à 100 %. Pour un récepteur : η = E′/U′.
- Accumulateur : sa capacité est la charge qu'il peut restituer, en ampères-heures (Ah) : Q = I·t (en A et h) ; 1 Ah = 3 600 C. Énergie stockée : W = U·Q (Wh si Q en Ah). Durée de décharge : t = Q/I.
- Rendement en quantité : ηQ = Q(restituée)/Q(fournie). Rendement en énergie : ηW = ηQ × U(décharge)/U(charge). La tension de décharge étant plus faible que celle de charge, ηW est plus petit que ηQ.
Les formules
- Tension aux bornes d'un générateur
- U = E − r·I
- E : f.é.m., r : résistance interne
- Loi de Pouillet
- I = E/(R + r)
- court-circuit : I = E/r
- Loi de Pouillet généralisée
- I = (ΣE − ΣE′)/ΣR
- E′ : f.c.é.m. des récepteurs
- Récepteur
- U′ = E′ + r′·I
- U′ plus grand que E′
- Piles en série / en parallèle
- série : n·E et n·r ; parallèle : E et r/n
- n piles identiques
- Puissances et rendement du générateur
- P(totale) = E·I ; P(utile) = U·I ; P(perdue) = r·I² ; η = U/E = R/(R + r)
- P(totale) = P(utile) + P(perdue)
- Accumulateur
- Q = I·t ; 1 Ah = 3 600 C ; W = U·Q
- W en Wh si Q en Ah et U en V
- Rendements d'un accumulateur
- ηQ = Q(restituée)/Q(fournie) ; ηW = ηQ × U(décharge)/U(charge)
- ηW plus petit que ηQ
La méthode
- 1Fais la liste de tous les éléments du circuit en série : générateurs (E, r), récepteurs (E′, r′), résistances.
- 2Si plusieurs piles identiques sont associées, remplace-les par une pile équivalente (série : n·E, n·r ; parallèle : E, r/n).
- 3Calcule le courant : I = (somme des E − somme des E′)/(somme de toutes les résistances, internes comprises).
- 4Déduis ce qu'on demande : tension aux bornes U = E − r·I, puissance perdue r·I², rendement U/E. Si on te donne I et qu'on cherche E ou r, isole-les dans la loi de Pouillet.
- 5Accumulateurs : travaille en Ah et heures, convertis en coulombs (× 3 600) seulement à la fin. Fournir à la charge = restituer ÷ ηQ.
Un exemple résolu
Un générateur (E = 24 V ; r = 1 Ω) alimente en série un moteur (E′ = 12 V ; r′ = 2 Ω) et un résistor de 3 Ω. Calcule le courant, la tension aux bornes du générateur et son rendement.
- 1.Somme des résistances : 1 + 2 + 3 = 6 Ω.
- 2.Le moteur s'oppose au générateur : I = (24 − 12)/6 = 12/6 = 2 A.
- 3.Tension aux bornes du générateur : U = E − r·I = 24 − 1 × 2 = 22 V.
- 4.Rendement du générateur : η = U/E = 22/24 ≈ 0,917, soit environ 91,7 %.
- 5.Contrôle : le moteur reçoit U′ = 12 + 2 × 2 = 16 V et le résistor 3 × 2 = 6 V ; 16 + 6 = 22 V, c'est bien U.
Réponse : I = 2 A ; U = 22 V ; rendement ≈ 91,7 %.
Les pièges à éviter
- Oublier la résistance interne dans la loi de Pouillet : I = E/R donne un courant trop grand.
- Traiter un moteur comme une simple résistance, ou ajouter sa f.c.é.m. à la f.é.m. : elle se retranche.
- Donner la f.é.m. (tension à vide) comme tension aux bornes d'une pile qui débite, ou donner la chute interne r·I.
- En parallèle, additionner les f.é.m. des piles : seule la résistance interne change (r/n).
- Laisser des Ah comme si c'étaient des coulombs, ou multiplier par le rendement au lieu de diviser pour la charge à fournir.
À retenir
I = (ΣE − ΣE′)/ΣR avec toutes les résistances internes ; un générateur qui débite a U = E − r·I.