Aucune mesure n'est parfaite : on écrit toujours le résultat avec sa marge d'erreur, par exemple L = (40 ± 0,2) cm. L'Exetat demande surtout de calculer l'incertitude sur une aire, un volume ou une vitesse, et de compter les chiffres significatifs.
L'essentiel
- Une mesure s'écrit x = (valeur ± Δx) unité. Δx est l'incertitude absolue : la marge d'erreur, dans la même unité que la mesure. Avec une règle graduée en millimètres, on se trompe d'environ 0,05 cm ou 0,1 cm.
- L'incertitude relative est Δx/x. Elle n'a pas d'unité et on la donne souvent en pourcentage : (40 ± 0,2) cm donne 0,2/40 = 0,005, soit 0,5 %. Plus elle est petite, plus la mesure est précise.
- Pour une somme ou une différence (x + y ou x − y), on additionne les incertitudes ABSOLUES : Δ = Δx + Δy. Même pour une différence, on additionne : les erreurs ne s'annulent jamais.
- Pour un produit ou un quotient (x × y ou x/y), on additionne les incertitudes RELATIVES : ΔA/A = Δx/x + Δy/y. Ensuite on revient à l'incertitude absolue : ΔA = A × (ΔA/A).
- Pour une puissance (aⁿ), l'incertitude relative est multipliée par l'exposant : ΔV/V = n × Δa/a. Pour un cube (V = a³), c'est trois fois l'incertitude relative de l'arête.
- Si on mesure n objets identiques ensemble (25 spires jointives, 10 feuilles empilées), on divise la longueur ET son incertitude par n : d = L/n et Δd = ΔL/n. C'est une astuce pour gagner en précision.
- Chiffres significatifs : on compte à partir du premier chiffre non nul jusqu'au dernier chiffre écrit. Les zéros de tête (0,00…) ne comptent jamais ; les zéros à la fin, après la virgule, comptent. Ainsi 0,004050 a 4 chiffres significatifs (4, 0, 5, 0).
Les formules
- Incertitude relative
- Δx/x (souvent en %)
- sans unité
- Somme ou différence
- Δ(x + y) = Δ(x − y) = Δx + Δy
- on additionne les incertitudes absolues
- Produit ou quotient
- ΔA/A = Δx/x + Δy/y pour A = x × y ou A = x/y
- puis ΔA = A × (ΔA/A)
- Rectangle (forme pratique)
- ΔA = l × ΔL + L × Δl
- A = L × l
- Puissance
- ΔV/V = n × Δa/a, soit ΔV = n × aⁿ⁻¹ × Δa
- V = aⁿ ; cube : n = 3
- Constante exacte
- Δ(k × x) = k × Δx et Δ(x/n) = Δx/n
- k et n connus sans erreur
La méthode
- 1Écris la formule de la grandeur calculée (aire, volume, vitesse…) et repère l'opération : somme, produit, quotient ou puissance.
- 2Somme ou différence : additionne directement les incertitudes absolues.
- 3Produit, quotient ou puissance : calcule chaque incertitude relative (Δx/x), additionne-les (en multipliant par l'exposant s'il y a une puissance).
- 4Calcule la valeur de la grandeur, puis multiplie-la par l'incertitude relative totale pour obtenir l'incertitude absolue, avec son unité.
- 5Vérifie que ta réponse a bien l'unité de la grandeur (cm² pour une aire, cm³ pour un volume). Un nombre sans unité comme 0,0165 est une incertitude relative, pas absolue.
Un exemple résolu
Les côtés d'un rectangle mesurent L = (25,0 ± 0,1) cm et l = (8,0 ± 0,1) cm. Calcule l'aire et son incertitude absolue.
- 1.Aire : A = L × l = 25,0 × 8,0 = 200 cm².
- 2.C'est un produit : on additionne les incertitudes relatives.
- 3.ΔL/L = 0,1/25 = 0,004 et Δl/l = 0,1/8 = 0,0125.
- 4.ΔA/A = 0,004 + 0,0125 = 0,0165 (soit 1,65 %).
- 5.ΔA = 200 × 0,0165 = 3,3 cm².
- 6.Contrôle avec la forme pratique : ΔA = l × ΔL + L × Δl = 8 × 0,1 + 25 × 0,1 = 0,8 + 2,5 = 3,3 cm².
Réponse : A = (200 ± 3,3) cm².
Les pièges à éviter
- Additionner les incertitudes absolues des côtés (0,1 + 0,1 = 0,2 cm²) pour une aire : cette règle ne vaut que pour une somme. Pour un produit, passe par les incertitudes relatives.
- Soustraire les incertitudes relatives parce qu'on divise (v = d/t) : elles s'additionnent toujours, que l'on multiplie ou que l'on divise.
- Donner l'incertitude relative (un nombre sans unité, comme 0,029) quand on demande l'incertitude absolue. Il faut encore multiplier par la valeur mesurée.
- Oublier l'exposant pour un volume : pour un cube, ΔV = 3 × a² × Δa, pas a² × Δa.
- Compter les zéros de tête comme chiffres significatifs, ou oublier le zéro final : 0,0250 a 3 chiffres significatifs, 0,02500 en a 4.
À retenir
Somme ou différence : on additionne les incertitudes absolues ; produit, quotient ou puissance : on additionne les incertitudes relatives (multipliées par l'exposant).